如何生成任意n阶的三对角矩阵

数学作业要求实现共轭梯度法的算法。

题目中的矩阵A是n=400/500/600的三对角矩阵。

在网上查阅资料未果后，自己解决了。

import numpy as np
def generate_matrix(n):
    # 使用对角矩阵相加得到三对角矩阵A
    array_a = np.diag([-2] * n)
    array = np.diag([1] * (n-1))
    a = np.zeros((n-1))
    b = np.zeros(n)
    array_b = np.insert(array, 0, values=a, axis=0)# 添加行
    array_b = np.insert(array_b, (n-1), values=b, axis=1)# 添加列
    array_c = np.insert(array, (n-1), values=a, axis=0)
    array_c = np.insert(array_c, 0, values=b, axis=1)
    matrix_A = array_a + array_b + array_c
    print(array_a)
    print(array_b)
    print(array_c)
    print(matrix_A)

# Press the green button in the gutter to run the script.
if __name__ == '__main__':
    n = 5
    generate_matrix(n)

结果输出：

C:\Users\87167\Anaconda3\envs\tf\python.exe C:/Users/87167/PycharmProjects/GongETiDuFa/main.py
[[-2  0  0  0  0]
 [ 0 -2  0  0  0]
 [ 0  0 -2  0  0]
 [ 0  0  0 -2  0]
 [ 0  0  0  0 -2]]
[[0 0 0 0 0]
 [1 0 0 0 0]
 [0 1 0 0 0]
 [0 0 1 0 0]
 [0 0 0 1 0]]
[[0 1 0 0 0]
 [0 0 1 0 0]
 [0 0 0 1 0]
 [0 0 0 0 1]
 [0 0 0 0 0]]
[[-2  1  0  0  0]
 [ 1 -2  1  0  0]
 [ 0  1 -2  1  0]
 [ 0  0  1 -2  1]
 [ 0  0  0  1 -2]]

python矩阵分成上三角下三角和对角三个矩阵

diagonal

Return specified diagonals.

diagflat

Create a 2-D array with the flattened input as a diagonal.

trace

Sum along diagonals.

triu

Upper triangle of an array.

tril

Lower triangle of an array.

先讲一个方阵的对角线下的下三角阵和对角线上的上三角阵提取出来（如果只需要上下三角阵，则去掉tril/triu中的第二个参数）

上代码(这里使用tril和triu都是返回array形式，还需使用mat转换回矩阵)：

>>> m = np.mat("1,2,3;4,5,6;7,8,9")
>>> m
matrix([[1, 2, 3],
        [4, 5, 6],
        [7, 8, 9]])
>>> L = np.tril(m,-1)
>>> L
array([[0, 0, 0],
       [4, 0, 0],
       [7, 8, 0]])
>>> U = np.triu(m,1)
>>> U
array([[0, 2, 3],
       [0, 0, 6],
       [0, 0, 0]])

而单独要提取对角线上的元素作为一个矩阵有如下两种方法：

1、运用np.diag两次，再使用mat转换回矩阵：

>>> D = np.diag(np.diag(m))
>>> D
array([[1, 0, 0],
       [0, 5, 0],
       [0, 0, 9]])
>>> D = np.mat(D)
>>> D
matrix([[1, 0, 0],
        [0, 5, 0],
        [0, 0, 9]])

2、运用下三角矩阵减去次下三角矩阵（即对角线下的下三角阵）：

>>> D = np.tril(m) - L
>>> D
array([[1, 0, 0],
       [0, 5, 0],
       [0, 0, 9]])
>>> D = np.mat(D)
>>> D
matrix([[1, 0, 0],
        [0, 5, 0],
        [0, 0, 9]])

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