什么是二叉搜索树

二叉搜索树首先它是一棵二叉树，而且还满足下面这些特质：

• 对于任何一个非空节点来说，它左子树上的值必须小于当前值；
• 对于任何一个非空节点来说，它右子树上的值必须大于当前值；
• 任何一颗子树满足上面的条件；

如下图所示：

上图就是一颗二叉搜索树，我们就拿根节点来说，根节点的值71，它的左子树的值分别是22、35、46、53和66，这几个都是满足左子树小于当前值；它的右子树的值分别是78、87和98，这几个值是满足右子树大于当前值的；以此类推，所以上图就是一棵二叉搜索树。

根据二叉搜索树的特质，我们还能得到以下结论：

• 二叉搜索树的任何一个节点的左子树、右子树都是一颗二叉搜索树；
• 二叉搜索树的最小的节点是整颗树的最左下角的叶子节点；
• 二叉搜索树的最大的节点是整棵树的最右下角的叶子节点；

构建一颗二叉搜索树

我们现在使用JavaScript来构建一颗二叉搜索树，要知道一颗二叉搜索树也是由一个一个节点组成，这里我们通过class创建一个节点类，

示例代码如下：

class BinarySearchTree {
  constructor() {
    // 初始化根节点
    this.root = null
  }

  // 创建一个节点
  Node(val) {
    return {
      left: null, // 左子树
      right: null, // 右子树
      parent: null, // 父节点
      val,
    }
  }
}

这里一个节点由四部分组成，分别是指向左子树的指针、指向右子树的指针、指向父节点的指针以及当前值。

二叉搜索树的操作

关于二叉树的遍历操作我们在上一篇文章中已经介绍了，这里不在重复，这里主要介绍如下操作：

• 插入操作
• 查找操作
• 删除操作

向二叉搜索树中插入数据

向一个二叉搜索树插入数据实现思路如下：

• 判断root是否为空，如果为空则创建root；
• 如果root非空，则需要判断插入节点的val比根节点的val是大还是小；
• 如果比根节点小，说明是左子树的节点；
• 如果比根节点大，说明是右子树的节点；
• 上面两步重复执行，直到找到一个点，如果这个点小于我们要插入的值，且不存在右子树，将这个点作为其右叶子节点；如果这个点大于我们要插入的值，且不存在右子树，将这个点作为其左叶子节点。

示例代码如下：

// 创建要给插入节点的方法
insertNode(val) {
  const that = this
  // 允许接受一个数组，批量插入
  if (Object.prototype.toString.call(val) === '[object Array]') {
    val.forEach(function (v) {
      that.insertNode(v)
    })
    return
  }
  if (typeof val !== 'number') throw Error('插入的值不是一个数字')
  const newNode = this.Node(val)
  if (this.root) {
    // 根节点非空
    this.#insertNode(this.root, newNode)
  } else {
    // 根节点是空的，直接创建
    this.root = newNode
  }
}
// 私有方法，插入节点
#insertNode(root, newNode) {
  if (newNode.val < root.val) {
    // 新节点比根节点小，左子树
    if (root.left === null) {
      // 如果左子树上没有内容，则直接插入，如果有，寻找下一个插入位置
      root.left = newNode
      root.left.parent = root
    } else {
      this.#insertNode(root.left, newNode)
    }
  } else {
    // 新节点比根节点大，右子树
    if (root.right === null) {
      // 如果右子树上没有内容，则直接插入，如果有，寻找下一个插入位置
      root.right = newNode
      root.right.parent = root
    } else {
      this.#insertNode(root.right, newNode)
    }
  }
}

在类中定义了insertNode方法，这个方法接受数值或者数值类型的数组，将其插入这个二叉搜索树中；插入方法我们定义了一个私有的#insertNode方法，用于节点的插入。

为了看到效果，我们这里定义了一个静态方法，用于中序遍历（因为中序遍历的顺序是左根右，在二叉搜索树中使用中序排序，最终结果是从小到大依次排序的）这个树，并返回一个数组，

示例代码如下：

// 中序遍历这个树
static inorder(root) {
  if (!root) return
  const result = []
  const stack = []
  // 定义一个指针
  let p = root
  // 如果栈中有数据或者p不是null，则继续遍历
  while (stack.length || p) {
    // 如果p存在则一致将p入栈并移动指针
    while (p) {
      // 将 p 入栈，并以移动指针
      stack.push(p)
      p = p.left
    }
    const node = stack.pop()
    result.push(node.val)
    p = node.right
  }
  return result
}

测试代码如下：

const tree = new BinarySearchTree()
tree.insertNode([71, 35, 87, 22, 53, 46, 66, 78, 98])
const arr = BinarySearchTree.inorder(tree.root)
console.log(arr) // [ 22, 35, 46, 53, 66,71, 78, 87, 98 ]

最终的树结构如下：

查找二叉搜索树中的数据

现在我们封装一个find方法，用于查找二叉搜索树中的某个数据，假如我们查找66这个数据，利用上面那个树，

其查找思路如下图所示：

递归方式实现如下：

/**
 * 根据 val 查找节点
 * @param {number} val 需要查找的数值
 * @returns 如果找到返回当前节点的引用，如果未找到返回 undefined
 */
find(val) {
  if (typeof val !== 'number') throw Error('插入的值不是一个数字')
  function r(node, val) {
    // console.log(node)
    if (!node) return
    if (node.val < val) {
      return r(node.right, val)
    } else if (node.val > val) {
      return r(node.left, val)
    } else {
      return node
    }
  }
  return r(this.root, val)
}

迭代方式实现如下：

/**
 * 根据 val 查找节点
 * @param {number} val 需要查找的数值
 * @returns 如果找到返回当前节点的引用，如果未找到返回 undefined
 */
find(val) {
  if (typeof val !== 'number') throw Error('插入的值不是一个数字')
  let node = this.root
  while (node) {
    if (node.val < val) {
      // 进入右子树
      node = node.right
    } else if (node.val > val) {
      // 进入左子树
      node = node.left
    } else {
      return node
    }
  }
  return
}

两者相对来说，使用迭代的方式更优一些。

删除二叉搜索树的某个节点

前驱后继节点

在开始删除二叉搜索树中的某个节点之前，我们先来了解一下什么是前驱和后继节点；

• 前驱节点指的是使用中序遍历当前二叉搜索树时，当前节点的上一个节点就是前驱节点，换一种说法就是在二叉搜索树中，当前节点的左子树的最大值，就是该节点的前驱节点；
• 后继节点指的是使用中序遍历当前二叉搜索树时，当前节点的下一个节点就是后继节点，换一种说法就是在二叉搜索树中，当前节点的右子树的最小值，就是该节点的后继节点；

如下图所示：

了解了什么是前驱和后继节点之后，现在我们来开始删除某个节点。

删除一个节点的三种情况

当删除的节点是叶子节点时，只需要将指向它的指针修改为null，即可，如下图所示：

当需要删除的节点存在一个子节点时， 需要将要删除节点的子节点的parent指针指向要删除节点的父节点，然后将当前要删除节点的父节点指向子节点即可，

如下图所示：

当需要删除的节点存在一个子节点时， 删除步骤如下：

• 找到当前节点的前驱或者后继节点，这里选择后继；
• 然后将后继节点的值赋值给当前节点；
• 删除后继节点。

如下图所示：

现在我们将这些情况已经分析完成了，现在通过代码实现一下。

实现代码

实现代码如下：

remove(val) {
  // 1. 删除节点
  const cur = this.find(val)
  if (!val) return false // 未找到需要删除的节点
  if (!cur.left && !cur.right) {
    // 1. 当前节点是叶子节点的情况
    this.#removeLeaf(cur)
  } else if (cur.left && cur.right) {
    // 2. 当前节点存在两个子节点
    // 2.1 找到当前节点的后继节点
    const successorNode = this.#minNode(cur.right)
    // 2.2 将后继节点的值赋值给当前值
    cur.val = successorNode.val
    if (!successorNode.left && !successorNode.right) {
      // 2.3 后继节点是叶子节点，直接删除
      this.#removeLeaf(successorNode)
    } else {
      // 2.4 后继节点不是叶子节点
      // 2.4.1记录该节点的子节点，
      let child =
        successorNode.left !== null ? successorNode.left : successorNode.right
      // 2.4.2 记录该节点的父节点
      let parent = successorNode.parent
      // 2.4.3 如果当前父节点的left是后继结点，则把后继结点的父节点的left指向后继结点的子节点
      if (parent.left === successorNode) {
        parent.left = child
      } else {
        // 2.4.4 如果不是，则让父节点的right指向后继结点的子节点
        parent.right = child
      }
      // 2.4.5 修改子节点的parent指针
      child.parent = parent
    }

    // 2.3 删除后继节点
  } else {
    // 记录当前节点的是否是父节点的左子树
    const isLeft = cur.val < cur.parent.val
    // 3. 仅存在一个子节点
    if (cur.left) {
      // 3.1 当前节点存在左子树
      cur.parent[isLeft ? 'left' : 'right'] = cur.left
      cur.left.parent = cur.parent
    } else if (cur.right) {
      // 3.2 当前节点存在右子树
      cur.parent[isLeft ? 'left' : 'right'] = cur.right
      cur.right.parent = cur.parent
    }
  }
}
// 删除叶子节点
#removeLeaf(node) {
  if (!node) return
  const parent = node.parent
  if (node.val < parent.val) {
    // 当前要删除的叶子节点是左节点
    parent.left = null
  } else {
    // 当前要删除的叶子节点是右节点
    parent.right = null
  }
}
// 查找最小值
#minNode(node) {
  if (!node) return
  if (!node.left) return node
  let p = node.left
  while (p.left) {
    p = p.left
  }
  return p
}

完整代码

本篇文章中的完整代码如下：

class BinarySearchTree {
  constructor() {
    // 初始化根节点
    this.root = null
  }

  // 创建一个节点
  Node(val) {
    return {
      left: null, // 左子树
      right: null, // 右子树
      parent: null, // 父节点
      val,
    }
  }
  /**
   * 创建要给插入节点的方法
   * @param {number | array[number]} val
   * @returns
   */
  insertNode(val) {
    const that = this
    // 允许接受一个数组，批量插入
    if (Object.prototype.toString.call(val) === '[object Array]') {
      val.forEach(function (v) {
        that.insertNode(v)
      })
      return
    }

    if (typeof val !== 'number') throw Error('插入的值不是一个数字')

    const newNode = this.Node(val)
    if (this.root) {
      // 根节点非空
      this.#insertNode(this.root, newNode)
    } else {
      // 根节点是空的，直接创建
      this.root = newNode
    }
  }

  /**
   * 私有方法，插入节点
   * @param {Object{Node}} root
   * @param {Object{Node}} newNode
   */
  #insertNode(root, newNode) {
    if (newNode.val < root.val) {
      // 新节点比根节点小，左子树
      if (root.left === null) {
        // 如果左子树上没有内容，则直接插入，如果有，寻找下一个插入位置
        root.left = newNode
        root.left.parent = root
      } else {
        this.#insertNode(root.left, newNode)
      }
    } else {
      // 新节点比根节点大，右子树
      if (root.right === null) {
        root.right = newNode
        root.right.parent = root
      } else {
        this.#insertNode(root.right, newNode)
      }
    }
  }
  /**
   * 根据 val 查找节点
   * @param {number} val 需要查找的数值
   * @returns 如果找到返回当前节点的引用，如果未找到返回 undefined
   */
  find(val) {
    if (typeof val !== 'number') throw Error('插入的值不是一个数字')
    let node = this.root
    while (node) {
      if (node.val < val) {
        // 进入右子树
        node = node.right
      } else if (node.val > val) {
        // 进入左子树
        node = node.left
      } else {
        return node
      }
    }
    return
  }
  // /**
  //  * 根据 val 查找节点 递归版
  //  * @param {number} val 需要查找的数值
  //  * @returns 如果找到返回当前节点的引用，如果未找到返回 undefined
  //  */
  // find(val) {
  //   if (typeof val !== 'number') throw Error('插入的值不是一个数字')
  //   function r(node, val) {
  //     // console.log(node)
  //     if (!node) return
  //     if (node.val < val) {
  //       return r(node.right, val)
  //     } else if (node.val > val) {
  //       return r(node.left, val)
  //     } else {
  //       return node
  //     }
  //   }
  //   return r(this.root, val)
  // }
  remove(val) {
    // 1. 删除节点
    const cur = this.find(val)
    if (!val) return false // 未找到需要删除的节点

    if (!cur.left && !cur.right) {
      // 1. 当前节点是叶子节点的情况
      this.#removeLeaf(cur)
    } else if (cur.left && cur.right) {
      // 2. 当前节点存在两个子节点
      // 2.1 找到当前节点的后继节点
      const successorNode = this.#minNode(cur.right)
      // 2.2 将后继节点的值赋值给当前值
      cur.val = successorNode.val
      if (!successorNode.left && !successorNode.right) {
        // 2.3 后继节点是叶子节点，直接删除
        this.#removeLeaf(successorNode)
      } else {
        // 2.4 后继节点不是叶子节点
        // 2.4.1记录该节点的子节点，
        let child =
          successorNode.left !== null ? successorNode.left : successorNode.right
        // 2.4.2 记录该节点的父节点
        let parent = successorNode.parent
        // 2.4.3 如果当前父节点的left是后继结点，则把后继结点的父节点的left指向后继结点的子节点
        if (parent.left === successorNode) {
          parent.left = child
        } else {
          // 2.4.4 如果不是，则让父节点的right指向后继结点的子节点
          parent.right = child
        }
        // 2.4.5 修改子节点的parent指针
        child.parent = parent
      }

      // 2.3 删除后继节点
    } else {
      // 记录当前节点的是否是父节点的左子树
      const isLeft = cur.val < cur.parent.val
      // 3. 仅存在一个子节点
      if (cur.left) {
        // 3.1 当前节点存在左子树
        cur.parent[isLeft ? 'left' : 'right'] = cur.left
        cur.left.parent = cur.parent
      } else if (cur.right) {
        // 3.2 当前节点存在右子树
        cur.parent[isLeft ? 'left' : 'right'] = cur.right
        cur.right.parent = cur.parent
      }
    }
  }
  // 删除叶子节点
  #removeLeaf(node) {
    if (!node) return
    const parent = node.parent
    if (node.val < parent.val) {
      // 当前要删除的叶子节点是左节点
      parent.left = null
    } else {
      // 当前要删除的叶子节点是右节点
      parent.right = null
    }
  }
  // 查找最小值
  #minNode(node) {
    if (!node) return
    if (!node.left) return node
    let p = node.left
    while (p.left) {
      p = p.left
    }
    return p
  }
  // 中序遍历这个树
  static inorder(root) {
    if (!root) return
    const result = []
    const stack = []
    // 定义一个指针
    let p = root
    // 如果栈中有数据或者p不是null，则继续遍历
    while (stack.length || p) {
      // 如果p存在则一致将p入栈并移动指针
      while (p) {
        // 将 p 入栈，并以移动指针
        stack.push(p)
        p = p.left
      }

      const node = stack.pop()
      result.push(node.val)
      p = node.right
    }
    return result
  }
}
const tree = new BinarySearchTree()
tree.insertNode([71, 35, 84, 22, 53, 46, 66, 81, 83, 82, 88, 98])
console.log(BinarySearchTree.inorder(tree.root)) // [ 22, 35, 46, 53, 66, 71, 81, 82, 83, 84, 88, 98 ]
tree.remove(71
console.log(BinarySearchTree.inorder(tree.root)) // [ 22, 35, 46, 53, 66, 81, 82, 83, 84, 88, 98 ]

总结

文章介绍了二叉搜索树的性质以及二叉搜索树的构建、查找和删除

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